今日の数学｜ベイズの定理 - 検査で陽性、本当に病気？

今日の数学｜ベイズの定理

更新日：2025年12月22日

「検査で陽性だったけど、本当に病気なの？」という素朴な疑問から、AIの根幹を支える数学まで繋がる話を調査・考察してみました。数式が苦手な方も、ゆっくり読めば大丈夫です。参考になれば幸いです。

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1. 今日の問題

問題
ある病気は100人に1人がかかる。この病気の検査は優秀で、病気の人を95%の確率で「陽性」と判定できる。ただし、健康な人も10%の確率で間違えて「陽性」と出てしまう。あなたが検査を受けて「陽性」と出た。実際に病気である確率は？

直感的には「95%くらい？」と思うかもしれない。しかし、答えは驚くほど低い。

ベイズの定理
\[ P(\text{病気}|\text{陽性}) = \frac{P(\text{陽性}|\text{病気}) \times P(\text{病気})}{P(\text{陽性})} \]

この式は「陽性が出たとき、本当に病気である確率」を求める公式である。縦棒「|」は「〜のとき」と読む。

解答（一歩ずつ）

Step 1：情報を整理する
\[ \begin{align} P(\text{病気}) &= 0.01 \quad \text{（100人に1人）} \\ P(\text{陽性}|\text{病気}) &= 0.95 \quad \text{（病気なら95%で陽性）} \\ P(\text{陽性}|\text{健康}) &= 0.10 \quad \text{（健康でも10%で陽性）} \end{align} \]
Step 2：全体で陽性が出る確率を求める
1000人を検査したと想像してみよう。
病気の人：1000 × 0.01 = 10人 → うち陽性：10 × 0.95 = 9.5人
健康な人：1000 × 0.99 = 990人 → うち陽性：990 × 0.10 = 99人
合計の陽性：9.5 + 99 = 108.5人

Step 3：陽性の中で本当に病気の人の割合
\[ P(\text{病気}|\text{陽性}) = \frac{9.5}{108.5} \approx 0.088 \]
答え：約8.8%（10人に1人以下）

検査精度95%でも、実際に病気である確率は10%未満。なぜか？「そもそも病気の人が少ない」からである。健康な人の誤判定が、本当の病気の人を圧倒してしまう。

2. 定理の意味と歴史

歴史
1763年：イギリスの牧師トーマス・ベイズの遺稿が発表される
1812年：フランスの数学者ラプラスが独立に発見、体系化
20世紀：統計学の主流派と激しい論争
2000年代〜：AI・機械学習で「ベイズ復興」

ベイズは牧師だった。彼が何を計算しようとしていたかは諸説あるが、「神の存在確率」を考えていたという説もある。皮肉なことに、この定理は現代ではAIの基礎となっている。

日常語で言うと
「新しい情報を得たら、考えを更新しなさい」ということ。最初の思い込み（事前確率）に固執せず、証拠（データ）に応じて判断を修正する。これが合理的な思考法であり、AIの学習プロセスでもある。
用語 日常語 今回の例
事前確率 最初の予想 病気は100人に1人（1%）
尤度（ゆうど） 証拠の確からしさ 病気なら95%で陽性が出る
事後確率 証拠を見た後の判断 陽性でも病気は8.8%

3. 日常とAIへの応用

身近な例

  • 迷惑メール判定：「無料」「当選」という単語があるとスパム確率が上がる
  • 天気予報：雲の動きという「証拠」で雨の確率を更新
  • 医療診断：症状と検査を組み合わせて病気の確率を計算
  • ChatGPTなどのAI：前の単語から次の単語の確率を計算

実は私たちも無意識にベイズ的思考をしている。たとえば、普段遅刻しない友人が遅刻したとき、「電車が遅れたのかな」と思う。これは「この友人は時間を守る（事前確率が高い）」という信念があるからである。

"When the facts change, I change my mind. What do you do, sir?"
（事実が変われば、私は考えを変える。あなたはどうするかね？）
— ジョン・メイナード・ケインズ（経済学者）

ベイズの定理は、この姿勢を数学的に正当化している。新しい証拠を得たら、考えを更新する。それが科学的な態度であり、AIの学習原理でもある。

参考・免責事項
本記事は2025年12月時点の情報に基づき、一般的な教養としての数学解説を目的として作成されています。記事中の医療検査に関する数値は説明のための仮想的な例であり、実際の検査精度や有病率とは異なります。医療に関する判断は必ず医師等の専門家にご相談ください。本記事の内容に基づいて行われた判断・行動について、筆者は一切の責任を負いかねます。